Siete problemas, seis millones de dólares.


A lo largo de la historia de la ciencia, han existido problemas cuya resolución es considerada como piedra angular de distintas disciplinas, dichos problemas se caracterizan por desafiar los métodos existentes y a menudo requieren “empujar” el conocimiento y el razonamiento a nuevos niveles. Para el año 2000, el Instituto Clay de Matemáticas lanzó una lista con siete problemas, algunos de ellos relativamente nuevos y otros más de un siglo sin que alguien llegue a una solución. A estos siete problemas se les conoce como los problemas del milenio y el premio por la resolución de cada uno es la modesta cantidad de un millón de dólares. Actualmente sólo uno de los problemas del milenio ha sido resuelto.

P vs NP.

Uno de los problemas más recientes, se trata de un problema de informática y habla sobre la resolución de problemas, en el caso de un problema P es uno fácil de solucionar y comprobar y uno tipo NP sería difícil de solucionar e incluso de comprobar si tienes la respuesta. Un problema tipo P sería comprobar si aún queda leche en el refrigerador, basta con ver si el cartón aún tiene líquido y el problema es solucionado, ahora uno tipo NP sería el equivalente de estar en un concierto con otras diez mil personas, recibes la llamada de un amigo diciéndote que igual se encuentra entre la multitud, así que decides buscarlo, obviamente la tarea no es sencilla de comprobar incluso sabiendo que tu amigo se encuentra en la multitud y en ocasiones ni si quiera la solución (aunque sea correcta) es fácil de comprobar en un problema NP.

El interés es que algunos problemas NP requieren tiempo absurdamente largos para ser resueltos por computadores, entonces el interés de resolver P vs NP radica en hacer posible convertir un problema NP (difícil y tardado de resolver) en uno P.

Hipótesis de Riemann.

Función Zeta de Riemann

Es uno de los problemas de la lista con más tiempo, poco más de un siglo y medio. La hipótesis de Riemann habla sobre los llamados “ceros no triviales” de la función Zeta de Riemann.

Para poner en contexto, podría decirse que una función es una instrucción de que hacer con un número y al final esas instrucciones te dan otro número, en el caso de la función zeta de Riemann se sabe que todos los números pares negativos (-2,-4,-6, etc.) dan como resultado final cero. Ahora los números que no son los pares negativos son los llamados “ceros no triviales”, la importancia de los ceros no triviales es la relación con los números primos, de probar la hipótesis de Riemann se daría un avance en los métodos de codificación en la informática.

Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

Ejemplos de curvas elípticas.

El problema nos habla un poco sobre geometría, particularmente sobre las curvas elípticas, el número de soluciones y si estas se tratan de números racionales.

Existencia de Yang-Mills y salto de masa.

Un problema de física, particularmente de la física cuántica. La teoría de Yang-Mills describe la interacción débil (responsable de ciertas formas de radiactividad) y fuerte (responsable de la unión de partículas para formar átomos). La teoría de Yang-Mills ha sido pilar durante más de medio siglo en el estudio de partículas elementales, ya que ha logrado predecir comportamientos entre partículas.

En la teoría de Yang Mills, las partículas no tienen masa, sin embargo, en los experimentos, particularmente en el fenómeno de la libertad asintótica, se muestra que indican que en la teoría de Yang–Mills que describen las interacciones nucleares tienen masa distinta de cero, en contraste, las partículas responsables de interacciones electromagnéticas (fotones) carecen de masa. El contraste se le conoce como salto de masa. Ahora el problema es, demostrar con rigor la existencia de la teoría de Yang–Mills cuántica y del salto de masa.

Ecuación de Navier-Stockes.

Ecuación de Navier-Stokes para fluidos con viscosidad y densidad constante.

Se trata del problema más antiguo de la lista, la ecuación de Navier-Stockes es una de las ecuaciones fundamentales en el estudio del movimiento de fluidos, sus aplicaciones van desde el diseño de sistemas de bombas y tuberías, a la aeronáutica y diseño aerodinámico.

El problema habla sobre la existencia y propiedades de las soluciones para todo el espacio (dos o tres dimensiones), la dificultad del problema radica en las ecuaciones en si, ya que más que una ecuación numérica, se trata de una ecuación diferencial, donde ahora se buscan funciones que cumplan las condiciones iniciales y las ecuaciones de Navier Stokes. En si el problema no habla de encontrar las soluciones, si no al menos demostrar su existencia para cualquier caso.

Conjetura de Hodge.

Tal vez sea el problema más complicado de explicar de forma sencilla, la conjetura de Hodge habla sobre geometría algebraica (Aquella que puede describir formas por medio de polinomios, como una circunferencia), topología, geometría compleja entre otros temas.

Me temo que la complejidad del tema es tal, que no es posible explicar la conjetura de Hodge sin antes hablar de varios temas antes (realmente bastantes temas), los cuales igual tienen cierto grado de complejidad por si mismos, pero quien guste ver un poco del tema, en las fuentes se encuentra una presentación de Daniel S. Freed hablando un poco sobre los temas previos y un artículo sobre la conjetura por parte de Vicente Muñoz.

Conjetura de Poincaré.

La Conjetura de Poincaré suena como un problema bastante obvio, si a un cuerpo esférico le atas un nudo corredizo es posible apretar el nudo sin tener que romper la esfera o el nudo hasta hacer que sea un punto sobre la esfera, sin embargo, al intentar hacer lo mismo sobre una dona o una taza (es lo mismo) no se podría apretar el nudo hasta que sea un punto en todos los casos posibles.

El problema suena bastante obvio, sin embargo, la conjetura se resistió a ser demostrada formalmente durante aproximadamente cien años, hasta que en el 2002 apareció una publicación que efectivamente, mostraba la demostración de la conjetura, la solución fue revisada por el Instituto Clay y varios académicos, llegando a la conclusión que era correcta la solución al problema. El autor del artículo resultó ser un matemático de nombre Grigori Parelman, tras ser contactado, Gregori rechazó el premio de un millón de dólares y la medalla Fields (Sería el equivalente al Nobel en Matemáticas) para finalmente retirarse tranquilamente después de alcanzar gran fama.

La Conjetura de Poincaré, ahora llamado Teorema de Poincaré-Parelman ha sido el único problema resuelto a la fecha, pero la historia detrás de ello merece ser mencionada.

Fuentes.

1.- Instituto Clay de Matemáticas: https://www.claymath.org/millennium-problems
2.- Echeverri L. F., Los siete problemas del Milenio, Universidad de Antioquía, consultado el 25 de junio de 2017: https://ciencias.udea.edu.co/documentos/jueves/MilleniumPrizeA.pdf
3.- Sipser. M.,: “The history and Status of the P versus NP Question”, Proceedings of the 24th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing, 1992, pp. 603-619, Recuperado de: https://www.win.tue.nl/~gwoegi/P-versus-NP/sipser.pdf
4.- Lemarié-Rieusset. P.G., The Navier-Stokes problem in the 21st century, CRC Press, 2016, Estados Unidos.
5.- Fefferman. C. L.,: Existence and Smoothness of the Navier Stokes equation, Claymath, recuperado de: https://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf
6.- García O.,: “Existencia de Yang Mills y los altos de masa”, Jornadas sobre los problemas del milenio, Barcelona, del 1 al 3 de junio de 2011. Consultado de: https://garf.ub.es/milenio/img/Yang-Mills.pdf
7.- Muñoz V.,: “Conjetura de Hodge, Jornadas sobre los problemas del milenio, Barcelona, del 1 al 3 de junio de 2011. Consultado de: https://garf.ub.es/milenio/img/Hodge.pdf
8.- Freed D.S.,: “The Hodge Conjecture”, Universidad de Texas, Austin, Recuperado de: https://www.ma.utexas.edu/users/dafr/HodgeConjecture/netscape_noframes.html
9.- Johnson B.A., “An introduction to the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture”, Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Volume 16, No. 1, 2015, pg 271-281.

Daniel A. Macías V. 

Redactado por Daniel Aarón Macías Villalobos para El Territorio.
Use y cite este artículo adecuadamente.

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